数学教案－基本作图

　　教学目标：

　　1、知识目标：

　　（1）要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

　　（2）掌握五种基本作图，明确尺规作图的意义。

　　2、能力目标：

　　（1）通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

　　（2）通过画图，培养学生的作图能力及动手能力。

　　3、情感目标：

　　（1）体验数学语言的简洁严谨。

　　（2）体会数学作图语言和图形的和谐统一。

　　教学重点：

　　熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

　　教学难点：

　　作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

　　教学用具：直尺，圆规

　　教学方法：讲练结合法

　　教学过程：

　　前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．

　　1、阅读教材，理解概念

　　学生阅读教材第一部分，并回答问题：

　　（1）尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．

　　（学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺）

　　（2）基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．

　　一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：

　　练习：作一条线段等于已知线段

　　2、讲解例题，熟悉语言

　　教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

　　前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．

　　1．作一个角等于已知角

　　分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

　　已知：AOB

　　求作：使＝AOB

　　分析：假设∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如图2，在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．

　　由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．

　　作法：1、作射线

　　2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

　　3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

　　4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

　　5、经过点作射线。就是所求的角

　　证明：连结CD、CD，由作法可知

　　△COD≌△COD（SSS）

　　∴ ∠COD=∠COD（全等三角形对应角相等）．

　　即∠AOB=∠AOB．

　　说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．

　　练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

　　首先要求作图工具——直尺（无刻度）、圆规．

　　然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件（一个角），写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．

　　作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．

　　让学生写出证明过程．

　　2．平分已知角

　　前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

　　分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的`研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

　　用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

　　怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

　　已知：∠AOB如图5

　　求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

　　作法：（1）在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

　　（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．

　　（3）作射线OC．

　　OC就是所求的射线．

　　证明：连结CD、CE，由作法可知

　　△ODC≌△OEC

　　∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等）．

　　即∠AOC=∠BOC．

　　小结：

　　（1）基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．

　　（2）作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线（作图痕迹）．

　　（3）只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠AOB就是所求的角．”

　　3．经过一点作已知直线的垂线

　　分两种情况来考虑：

　　（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．

　　（2）经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．

　　引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明．关键地方和疑点要向学生解释清楚．

　　分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

　　如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

　　①已知：直线AB和AB上一点C，如图7．

　　求作：AB的垂线，使它经过点C．

　　作法：证明引导学生写出．

　　②已知：直线AB和AB外一点C，如图8．

　　求作：AB的垂线，使它经过点C．

　　作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理．对教材中略去的证明要让学生补出来．提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O．首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°．

　　4．作线段的垂直平分线

　　先让学生理解线段垂直平分线的概念．

　　垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

　　分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

　　想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

　　引导学生写出已知、求作、作法．参照1．让学生补上证明过程．以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法．

　　因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

　　小结：

　　作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直（射）线．

　　至此，基本作图共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个．对于这些基本作图应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础．反复练习5个基本作图，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

　　例4、已知：线段

　　求作：，使

　　作法：1、作线段BC＝a

　　2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

　　3、连结AB、AC

　　就是所求作的三角形

　　例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

　　已知：

　　求作：

　　作法：1、作线段

　　2、在BC的同侧作

　　DE、EC交于点A。

　　为所求的三角形

　　证明：（略）

　　让学生补充证明。

　　3、总结归纳，便于掌握

　　（一）常用的作图语言：

　　（1）过点、作线段或射线、直线；（2）连结两点、；（3）在线段或射线上截取＝；（4）以点为圆心，以的长为半径作圆（或画弧），交于点；（5）分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；（6）延长到点，使＝。

　　（二）作图题说明

　　在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

　　（1）作线段＝；（2）作∠＝∠；（3）作（射线）平分∠；

　　（4）过点作，垂足为点；（5）作线段的垂直平分线；

　　4、课堂练习，巩固内容

　　（1）平分已知角

　　（2）作线段的垂直平分线

　　学生板书并讲解，教师点评。

　　5、布置作业：

　　a、书面作业P88＃1

　　b、上交作业P88＃3、9