八年级数学全等三角形及其性质教学计划

八年级数学全等三角形及其性质教学计划

　　教学目标：

　　1.(1)掌握角平分线的尺规作图方法;理解过直线上一点作这条直线的垂线的尺规作图原理;(2)理解并掌握角的平分线的性质定理。(3) 会运用角平分线的性质进行推理论证，解决相关的几何问题;(4)进行数学活动的过程中，能进行有条理地思考，形成简单的推理能力; (5)使学生经历探索角平分线的性质的过程，领会用操作、归纳、推理论证得出数学结论的思想方法。

　　教学重点：角平分线的尺规作图及角平分线的性质及其应用。

　　教学难点：角平分线的'尺规作图方法的提炼与角平分线性质的灵活应用。

　　教学过程：

　　活动一、知识回顾

　　1、不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系?

　　2、请叙述角平分线的定义。

　　活动二、情景引入

　　如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

　　证明：在△ACD和△ACB中

　　AD=AB(已知)

　　∵ DC=BC(已知)

　　CA=CA(公共边)

　　∴ △ACD≌△ACB(SSS)

　　∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)

　　∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)

　　活动三、新知探究

　　一、根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器，要求尺规作图)

　　二、怎样用尺规作图方法作已知直线的垂线?(过这条直线上一点)

　　(1)平分平角∠AOB(如下图所示)

　　(2)通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?

　　(3)结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

　　三、探究角平分线的性质

　　1、已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,PD与PE有何关系?并证明。

　　解：PD与PE相等。证明如下：

　　∵OC平分∠AOB(已知)

　　∴∠1=∠2 (角平分线的定义)

　　∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)

　　∴∠PDO=∠PEO (垂直的定义)

　　在△PDO和△PEO中

　　∠PDO=∠PEO (已证)

　　∵ ∠1=∠2 (已证)

　　OP=OP (公共边)

　　∴△PDO≌△PEO (AAS)

　　∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)

　　2、由此得到角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

　　3、利用此性质怎样书写推理过程?

　　∵OC平分∠AOB,点P在OC上，且 PD⊥OA于D，PE⊥OB于E

　　∴PD=PE(角的平分线上的点到角两边的距离相等)

　　活动四、例题讲解

　　例。已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

　　求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等

　　证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，

　　垂足为D、E、F

　　∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

　　∴PD=PE (角平分线上的点到角的两边的距离相等)

　　同理：PE=PF.∴ PD=PE=PF.

　　即点P到边AB、BC、CA的距离相等

　　活动五、实践应用

　　1.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB

　　分析：要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等，即Rt△CDF≌Rt△EDB.

　　现已有一个条件BD=DF，还需要我们找什么条件?

　　注意到题设条件：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E, ∠C=90°故有：DC=DE (角平分线的性质)

　　进而可用HL证明上述两个直角三角形全等

　　证明：∵∠C=90°∴DC⊥AC

　　又∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E

　　∴∠DEB=90°，DC=DE(角平分线的性质)

　　在Rt△CDF和Rt△EDB中

　　DF=DB(已知)

　　∵

　　DC=DE(已证)

　　∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)

　　∴ CF=EB(全等三角形的对应边相等)

　　2、已知：如右下图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

　　求证：EB=FC.

　　证明：∵AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F

　　∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)

　　DE=DF(角平分线的性质)

　　在Rt△DEB和Rt△DFC中

　　BD=CD

　　∵

　　DE=DF

　　∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)

　　∴EB=FC(全等三角形的对应边相等)

　　3.已知：如图，△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.

　　求证：点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。

　　证明：作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H.

　　又∵△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P

　　∴PG=PF , PF=PH(角平分线的性质)

　　即PG=PF=PH

　　∴点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。

　　活动六、归纳总结

　　1、定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

　　2、定理的使用形式：

　　∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)

　　∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。

　　尺规作图：①作已知角的平分线;②过直线上一点作这条直线的垂线。

　　作业布置： 1.预习课本P21～P23

　　2.完成课本P22T2，P23T4，5