《平方差公式》优质教学设计

《平方差公式》优质教学设计1

　　1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)

　　2．掌握平方差公式的应用．(重点、难点)

　　一、情境导入

　　1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．

　　学生积极举手回答．

　　多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

　　2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．

　　二、合作探究

　　探究点：平方差公式

　　【类型一】直接应用平方差公式进行计算

　　利用平方差公式计算：

　　(1)(3x－5)(3x＋5)；

　　(2)(－2a－b)(b－2a)；

　　(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；

　　(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．

　　解析：直接利用平方差公式进行计算即可．

　　解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；

　　(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；

　　(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；

　　(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.

　　方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

　　(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

　　(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；

　　(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

　　【类型二】应用平方差公式进行简便运算

　　利用平方差公式计算：

　　(1)20xx×1923；(2)13.2×12.8.

　　解析：(1)把20xx×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．

　　解：(1)20xx×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989；

　　(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.

　　方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题

　　【类型三】运用平方差公式进行化简求值

　　先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

　　解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．

　　解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.

　　方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第14题

　　【类型四】平方差公式的几何背景

　　如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．

　　解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

　　方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

　　【类型五】平方差公式的实际应用

　　王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

　　解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．

　　解：李大妈吃亏了，理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．

　　方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．

　　三、板书设计

　　1．平方差公式

　　两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

　　2．平方差公式的运用

　　学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的.练习可以让学生在课后完成。

《平方差公式》优质教学设计2

　　一、教材分析

　　本节课选自人教版八年级上册第14章第二节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一．

　　二、学情分析

　　1．学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．

　　2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性．

　　三、教学目标

　　1．知识目标：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用．

　　2．能力目标：运用公式进行简单的运算，获得一些数学活动的经验，进一步增强学生的符号感、推理和归纳能力及解决问题的能力．

　　3．情感目标：让学生经历“特殊到一般再到特殊”（即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验，体会数学的简洁美和数形结合的思想方法．培养他们合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识．

　　通过几方面的合力，提高学生归纳概括、逻辑推理等核心素养水平．

　　四、教学重难点

　　教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点；并会运用公式进行简单的计算．

　　教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算．

　　五、信息技术应用思路

　　1．本课运用了信息技术辅助教学，主要使用的技术有：PPT课件、几何画板．

　　2．使用几何画板技术，演示利用动态绘图软件研究周期性快速切换、更改周期，形象演示图形变化，利用面积法推导平方差公式；在导入、难点突破、练习巩固等环节使用信息技术．

　　3．预期效果：激发学生学习兴趣；找准并突破难点；提高课堂学习效率．整个教学过程用PPT节约了时间，使课容量适中；多媒体更能吸引学生的注意力，更利于课堂的完整．

　　六、教学过程设计

　　（一）创设情境，导入课题

　　问题1：美丽壮观的城市广场，是人们休闲旅游的地方，已经成为现代化城市的一道风景线．某城市广场呈长方形，长为1003米，宽997米．

　　你能用简便的方法计算出它的面积吗？看谁算得快：

　　师生活动：学生欣赏图片，感受生活中的数学问题，并进行生活中的数学向数学模型转换．

　　信息技术支持：PPT演示由现实中的实际问题入手，创设情境，从中挖掘蕴含的数学问题．

　　（二）探索新知，尝试发现

　　问题2：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长（m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛．你会计算改造后的花坛的面积吗?

　　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

　　（1）（m+1）（m-1）= ；

　　（2）（5+x）（5-x）= ；

　　（3）（2x+1）（2x-1）= ．

　　师生活动：学生在教师的引导下，通过小组讨论探究，进行多项式的乘法，计算出结论．

　　信息技术支持：PPT动画演示．

　　结论是一个平方减去另一个平方的形式，效果十分鲜明．

　　（三）总结归纳，发现新知

　　问题3：依照以上三道题的计算回答下列问题：

　　（1）式子的左边具有什么共同特征？

　　（2）它们的结果有什么特征？

　　（3）能不能用字母表示你的发现？

　　问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

　　教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

　　师生活动：学生在教师的引导下，通过小组讨论探究，归纳平方差公式的语言叙述．式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，

　　信息技术支持：PPT和几何画板演示，培养了学生的探究意识和合情推理的能力以及概括总结知识的能力．

　　（四）数形结合，几何说理

　　问题5：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？

　　提示：a2-b2与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积．

　　师生活动：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合的思想．

　　信息技术支持：PPT演示，进一步利用动画的演示巩固对平方差公式的理解程度，培养了学生的应用意识．

　　（五）剖析公式，发现本质

　　1．左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2．

　　2．让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能数或代表式．

　　师生活动：在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心．

　　信息技术支持：通过PPT练习实现了知识向能力的转化，让学生主动尝试运用所学知识寻求解决问题．

　　（六）巩固运用，内化新知

　　问题6：判断下列算式能否运用平方差公式计算：

　　（1）（2x+3a）(2x–3b)；

　　（2）（－m+n）（m－n）．

　　问题7：利用平方差公式计算：

　　（1）（3x +2y）（3x－2y）；

　　（2）（-7+2m2）（-7-2m2）．

　　师生活动：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．

　　信息技术支持：PPT展示书写步骤，有利于节省时间，提高效率，规范学生书写．

　　（七）拓展应用，强化思维

　　问题8：利用平方差公式计算情景导航中提出的问题：

　　即：1003×997=（1000+3）（1000-3）=10002-32=1000000-9=999991．

　　问题9：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积．

　　师生活动：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时训练了学生逆向思维能力．

　　信息技术支持：PPT展示书写步骤，有利于节省时间．

　　（八）总结概括，自我评价

　　问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

　　提示：从知识和情感态度两个方面加以小结．

　　师生活动：使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，分组讨论后交流．

　　信息技术支持：PPT演示，复习、巩固本节课的知识，在掌握基础知识的前提下，增加提高练习，适当增加灵活度，进一步深化对知识的理解．

　　（九）课后作业

　　1．必做题：课本P36习题2.1A组1、2．

　　2．选做题：课本P36习题2.1B组1、2．

　　作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异．

　　七、教学反思

　　1．本节课通过与学生生活紧密联系问题及多媒体图画设计引入，激发了学生学习兴趣，同时在教学中以学生自主探究为主，为不同学生设计练习，有利于提升了学生的自信心．

　　2．多媒体的应用能使学生充分体验到教育信息技术的优点，在操作过程中体会学习的快乐，特别是操作简单，学习效率大大提升，在学习过程中使教学软件与本节课的教学内容紧密结合在一起，使学生的思维始终关注学科本质．

　　3．信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效性．教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强直观性．信息技术的应用大大提高了课堂效率．