高中函数单调性的教学设计

高中函数单调性的教学设计

　　教学目标

　　1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题;提高分析、解决实际问题的能力。

　　2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。

　　函数的单调性

　　知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

　　能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

　　德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

　　教学重点：函数单调性的有关概念的理解

　　教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

　　教 具： 多媒体课件、实物投影仪

　　教学过程：

　　一、创设情境，导入课题

　　[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：

　　问题1：气温随时间的增大如何变化？

　　问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

　　[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

　　结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；

　　（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。

　　上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

　　二、给出定义，剖析概念

　　①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

　　⑴若当<时，都有f()<f(),则f(x)在这个区间上是增函数（如图3）；

　　⑵若当<时，都有f()>f(),则f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）。

　　②单调性与单调区间

　　若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

　　注意：

　　（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

　　当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) y随x增大而增大；当x1f(x2)y随x增大而减小。

　　几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。

　　（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

　　有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

　　判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（×）

　　函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。

　　训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

　　三、范例讲解，运用概念

　　例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。

　　注意：

　　（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

　　（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

　　例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的`结论。

　　引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

　　证明：设任意的，且，则

　　由，得

　　于是

　　即。

　　所以，在R上是增函数。

　　分析证明中体现函数单调性的定义。

　　利用定义证明函数单调性的步骤：

　　①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2

　　②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

　　③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号

　　④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）

　　即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

　　例3、 证明函数在(0,+)上是减函数.

　　证明：设，且，则

　　由，得

　　又由，得，

　　于是即。

　　即。

　　所以，函数在区间上是单调减函数。

　　问题1 ：在上是什么函数？(减函数)

　　问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数？ （学生讨论得出）

　　四、课堂练习，知识巩固

　　课本59页 练习：第1、3、4题。

　　五、课堂小结，知识梳理

　　1、增、减函数的定义。

　　函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

　　2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：

　　证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

　　六、布置作业，教学延伸

　　课本60页 习题2.3 ：第4、5、6题。