任意角的三角函数教学设计

　　（一）概念及其解析

　　这一栏目的要点是：阐述概念的内涵；在揭示内涵的基础上说明本课内容的核心所在；必要时要对概念在中学数学中的地位进行分析；明确概念所反映的数学思想方法。在此基础上确定教学重点。

　　概念

　　描述周期现象的数学模型，最基本而重要的背景：匀速圆周运动。

　　定义域：（弧度制下）任意角的集合；对应法则：任意角α的终边与单位圆的交点坐标为（x，y），正弦函数为y=sinα，余弦函数为x=cosα；值域：[－1，1]。

　　概念解析

　　核心：对应法则。

　　思想方法：函数思想——一般函数概念的指导作用；形与数结合——象限角概念基础上；模型思想——单位圆上的点随角的变化而变化的规律的数学刻画。

　　重点：理解任意角三角函数的对应法则——需要一定时间。

　　（二）目标和目标解析

　　一堂课的教学目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。当前，许多教师没有意识到制定教学目标的重要性，他们往往只从“课标”或“教参”上抄录，而且表述目标时，“八股”现象严重。我们主张，课堂教学目标不以“三维目标”（知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）或“四维目标”（知识技能、数学思考、解决问题、情感态度）分列，而以内容及由内容反映的思想方法为载体，将数学能力、情感态度等隐性目标融于其中，并用了解、理解、掌握等及相应的行为动词经历、体验、探究等表述目标，特别要阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。

　　为了更加清晰地把握教学目标，以给课堂中教和学的行为做出准确定向，需要对教学目标中的关键词进行解析，即要解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的具体含义，其中特别要明确当前内容所反映的数学思想方法的教学目标。

　　教学目标：

　　理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

　　目标解析：

　　（1）知道三角函数研究的问题；

　　（2）经历“单位圆法”定义三角函数的过程；

　　（3）知道三角函数的对应法则、自变量（定义域）、函数值（值域）；

　　（4）体会定义三角函数过程中的数形结合、数学模型、化归等思想方法．

　　（三）教学问题诊断分析

　　这一栏目的要点是：教师根据自己以往的教学经验，对学生认知状况的分析，以及数学知识内在的逻辑关系，在思维发展理论的指导下，对本内容在教与学中可能遇到的困难进行预测，并对出现困难的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。

　　教学问题诊断和教学难点：

　　认知基础

　　（1）函数的知识——“理解三角函数定义”到底要理解什么？——三要素；

　　（2）锐角三角函数的定义——背景（直角三角形）、对应关系（角度 比值）、解决的问题（解三角形）——侧重几何特性；

　　（3）任意角、弧度制、单位圆——在直角坐标系下讨论问题的经验，借助单位圆使问题简化的经验。

　　认知分析

　　（1）三角函数是一类特殊函数，“三角函数”是“函数”的下位概念，用“概念同化”方式学习，要理解“三要素”的具体内涵，其中核心是“对应法则”；

　　（2）从锐角三角函数到任意角三角函数，一种“形式推广”，载体要从直角三角形过渡到直角坐标系，其核心是要明确用坐标定义三角函数的思想方法；

　　（3）体会将“任意点”化归到“单位圆上的点”的意义——求简的思想。

　　教学难点

　　（1）先要在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应，再实现数到坐标的对应，不是直接的对应，会造成理解困难；

　　（2）锐角三角函数的“比值”过渡到坐标表示的比值，需要从函数角度重新认识问题；

　　（3）求简到“单位圆上点的坐标”，思想方法深刻，学生不易理解。

　　（四）教学过程设计

　　在设计教学过程时，如下问题需要予以关注：

　　强调教学过程的内在逻辑线索；

　　要给出学生思考和操作的具体描述；

　　要突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；

　　以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力等。

　　另外，要根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计等。

　　教学过程设计

　　1．复习提问

　　请回答下列问题：

　　（1）前面学习了任意角，你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗？

　　（2）引进象限角概念有什么好处？

　　（3）在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区别？

　　（4）我们是怎样简化弧度制的度量单位的？

　　（设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度复习；关注的是思想方法。）

　　2．先行组织者

　　我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。例如指数函数描述了“指数爆炸”，对数函数描述了“对数增长”等。圆周运动是一种重要的运动，其中最基本的是一个质点绕点O 做匀速圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？“任意角的三角函数”就是一个刻画这种“周而复始”的变化规律的函数模型。

　　（设计意图：解决“学习的必要性”问题，明确要研究的问题。）

　　3．概念教学过程

　　问题1对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角 α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的.定义找出sinα的值吗？

　　（设计意图：从函数角度重新认识锐角三角函数定义，突出“与点的位置无关”。）

　　问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？

　　（设计意图：比值“坐标化”。）

　　问题3 上述表达式比较复杂，你能设法将它化简吗？

　　（设计意图：为“单位圆法”作铺垫。学生答出“取点P（x，y）使x2+y2=1”后追问“为什么可以这样做？）”

　　教师讲授：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P（x，y），定义正弦函数为y=sinα，余弦函数为x=cosα。

　　（设计意图：“定义”是一种“规定”；把精力放在定义合理性的理解上。）

　　问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？

　　（设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。）

　　例1 分别求自变量π/2，π，－ π/3所对应的正弦函数值和余弦函数值。

　　（设计意图：让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤。）

　　例2 角α的终边过P（1/2， － /2），求它的三角函数值。

　　4．概念的“精致”

　　通过概念的“精致”，引导学生认识概念的细节，并将新概念纳入到概念系统中去，使学生全面理解三角函数概念。这里包括如下内容：

　　三角函数值的符号问题；

　　终边与坐标轴重合时的三角函数值；

　　终边相同的角的同名三角函数值；

　　与锐角三角函数的比较：因袭与扩张；

　　从“形”的角度看三角函数——三角函数线，联系的观点；

　　终边上任意一点的坐标表示的三角函数；

　　还可以引导学生思考三角函数的“多元联系表示”，例如，把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）t 被缠绕到单位圆上的点 P（cost，sint）．

　　5．课堂小结

　　（1）问题的提出——自然、水到渠成，思想高度——函数模型；

　　（2）研究的思想方法——与锐角三角函数的因袭与扩张的关系，化归为最简单也是最本质的模型，数形结合；

　　（3）归纳概括概念的内涵，明确自变量、对应法则、因变量；

　　（4）用概念作判断的步骤、注意事项等。

　　（五）目标检测设计

　　一般采用习题、练习的方式进行检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性。练习应当由简单到复杂、由单一到综合，循序渐进地进行。当前，要特别注意摒除“一步到位”的做法。过早给综合题、难题有害无益，基础不够的题目更是贻害无穷。题目出不好、练习安排不合理是老师专业素养低的表现之一。

　　本课习题只要完成教科书上的相关题目即可，这里从略。