初一数学证明题解题技巧整理总结

数学立体几何证明解题技巧

1平行、垂直位置关系的论证的策略:

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2空间角的计算方法与技巧:

主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角：

①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.

(3)二面角：

①平面角的作法：

(i)定义法;

(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;

(ii)射影面积法;

(iii)向量夹角公式.

3空间距离的计算方法与技巧:

(1)求点到直线的距离：

经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：

一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：

一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4熟记一些常用的小结论

诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题

要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6与球有关的题型

只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

7立体几何读题：

(1)弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。

(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。

几何解题程序

①弄清问题。

也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。

②拟定计划。

找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。

③执行计划。

以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。

④回顾。

对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。

初中几何解题技巧

一要审题。

很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。

这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的.一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。

分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。)结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

五要归纳总结。

很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。

几何证明的特殊解题技巧

一、分解法

即把一个图形分解成几个简单的图形或分成具有某种特殊关系的图形，然后借助于分解后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。

例1. 如图1，ABCD是任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H将CD分成三等分。

求证：四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一。

分析：四边形问题我们常分割成三角形问题来解决。于是考虑连结AC、AH、HF、FC，由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：

所以

所以

又

所以

故

二、特殊化法

即先考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般规律，或从特例中得到启发，从而解决一般问题的一种方法。

例2. 如图2，设P为∠AOB的平分线上一定点，以OP为弦作一圆，分别交OA、OB于C、D。

求证：OC与OD的和为定值。

分析：学生往往找不到定值是什么，若将“弦OP”特殊化为“直径OP”，则△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC=OD=，于是判断OC与OD的和为定值。故过P作PE⊥OA，PF⊥OB，连PC、PD，可证△PCE≌△PDF，所以CE=DF，OE=OF。

所以

即OC+OD为定值。

三、扩充法

即把图形扩充为另一个图形，借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。

例3. 如图3，已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为AD一点，BO、CO与AC、AB分别交于E、F。

求证：EF‖BC

分析：要证两线平行，考虑到平行线的'判定，而这里只有BD=DC，故考虑延长OD至G，使DG=OD，扩充得到平行四边形BGCO，则，OF‖BG，所以，故EF‖BC。

四、类比转换法

即将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比，从而得到启发，使问题得以解决的一种方法。

例4. 如图4，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=108°，AH⊥BC于H，∠DAC=。

求证：

分析：这类问题常转换为：，而在直角三角形ADH和AEH中，和分别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由题意可计算知∠DAH=∠AEH=18°，联想到，该问题得证。

五、面积法

即利用面积定理，结合图形中的面积关系，找到与问题相关的数量关系，使问题得到解决的一种方法。

例5. 如图5，平行四边形ABCD中，E在AD上，F在AB上，且DF=BE，DF与BE交于G。

求证：CG平分∠BGD。

分析：证明角平分线有两种常用方法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等。

连CE、CF，作高CH、CP，此题图中有，而DF=BE，故高CP=CH，于是CG平分∠BGD。

六、代数法

即根据图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等，再利用相关代数来解题的一种方法。

例6. 如图6，在凸四边形ABCD中，AB=2，P是AB边的中点，如果∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，求证：四边形ABCD的面积的最小可能值是4。

分析：显然，四边形ABCD的面积的大小与AD、BC的大小有关。故令AD=x，BC=a，四边形ABCD的面积=y，DF⊥CB于F，由题意：AP=PB=1，BF=AD=x，DF=AB=2，。

所以

所以

因x、y均为正实数，故由一元二次方程的根的判别