高二数学选修22教案最新文案

更新时间：2023-08-18 16:11:12 来源：高考在线

高二数学选修22教案最新文案1

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;

过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力;

情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】

重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

(一)基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

(二)探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系

形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

咱们再看一看图形的变化，(教师演示)

(学生发现)当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

2.抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗?

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

学生归纳得出。

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

【归纳总结】

如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

3.探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式?

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证,只要证2

要证,只要证

显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

4.理解升华

1)文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2)符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即;

仅当a=b时，取等号，即。

3)探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

(教师演示，学生直观感觉)

易证RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

即CD=.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

4)联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构?

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计(四)体会新知，迁移应用

例1：(1)设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

(2)如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗?

设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

(五)演练反馈，巩固深化

公式应用之一：

1.试判断与与2的大小关系?

问题：如果将条件“x>0”去掉，上述结论是否仍然成立?

2.试判断与7的大小关系?

公式应用之二：

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了?

(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折;乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算?(0

≠q)

(五)反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教?

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

老师根据情况完善如下：

知识要点：

(1)重要不等式和基本不等式的条件及结构特征

(2)基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

思想方法技巧：

(1)数形结合思想、“整体与局部”

(2)归纳与类比思想

(3)换元法、比较法、分析法

(七)布置作业，更上一层

1.阅读作业:预习基本不等式的教学设计

2.书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

3.思考题:类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式?

设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。

五、评价分析

1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。

2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

六、板书设计

§3.3基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式

1.文字语言叙述

2.符号语言叙述

3.几何意义

4.代数解释

三、应用举例

例1.

四、演练反馈

五、总结归纳

1.知识要点

2.思想方法

高二数学选修22教案最新文案2

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?

(3)向量数量积的性质有哪些?

(4)向量数量积的运算律有哪些?

[新知初探]

1.向量的数量积的定义

(1)两个非零向量的数量积：

已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ

定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ

记法a·b=|a||b|cosθ

(2)零向量与任一向量的数量积：

规定：零向量与任一向量的数量积均为0.

[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.

(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式.

2.向量的数量积的几何意义

(1)投影的概念：

①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.

②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.

(2)数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.

(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.

3.向量数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.

(1)a⊥b?a·b=0.

(2)当a与b同向时，a·b=|a||b|，

当a与b反向时，a·b=-|a||b|.

(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.

(4)cosθ=a·b|a||b|.

(5)|a·b|≤|a||b|.

[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直.

4.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.

(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积仍然是向量.()

(2)若a·b=b·c，则一定有a=c.()

(3)若a，b反向，则a·b=-|a||b|.()

(4)若a·b=0，则a⊥b.()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2.若|a|=2，|b|=12，a与b的夹角为60°，则a·b=()

A.2B.12

C.1D.14

答案：B

3.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·15b=-36，则a与b的夹角为()

A.60°B.120°

C.135°D.150°

答案：B

4.已知a，b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3.

(1)若θ=135°，则a·b=________;

(2)若a∥b，则a·b=________;

(3)若a⊥b，则a·b=________.

答案：(1)-32(2)6或-6(3)0

向量数量积的运算

[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b;②(a+b)·

(a-2b).

(2)如图，正三角形ABC的边长为2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.

[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.

②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.

(2)∵|a|=|b|=|c|=2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，

∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法

运算.

[活学活用]

已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b;(2)a2-b2;

(3)(2a-b)·(a+3b).

解：(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.

(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.

(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2

=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2

=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.

与向量的模有关的问题

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1，则|b|=________.

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|=________.

[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，

∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.

又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.

∵b·(e1-e2)=0，

∴b与e1，e2的夹角均为30°，

∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，

从而|b|=1cos30°=233.

(2)∵a，b的夹角为45°，|a|=1，

∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，

|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.

[答案](1)233(2)32

求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.

(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

[活学活用]

已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.

解：∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)

=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°

=50+2×5×5×12=75，

∴|a+b|=53.

∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)

=|a|2+|b|2-2a·b

=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，

∴|a-b|=5.

∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)

=4|a|2+|b|2+4a·b

=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，

∴|2a+b|=57.

两个向量的夹角和垂直

题点一：求两向量的夹角

1.(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，则a与b的夹角为()

A.π3B.π2

C.2π3D.5π6

解析：选C∵a⊥(2a+b)，∴a·(2a+b)=0，

∴2|a|2+a·b=0，

即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.

∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，

∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.

题点二：证明两向量垂直

2.已知向量a，b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).

证明：∵|2a+b|=|a+2b|，

∴(2a+b)2=(a+2b)2.

即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，

∴a2=b2.

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.

又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，

∴(a+b)⊥(a-b).

题点三：利用夹角和垂直求参数

3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为()

A.-32B.32

C.±32D.1

解析：选B∵3a+2b与ka-b互相垂直，

∴(3a+2b)·(ka-b)=0，

∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.

∵a⊥b，∴a·b=0，

又|a|=2，|b|=3，

∴12k-18=0，k=32.

求向量a与b夹角的思路

(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.

(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.

层级一学业水平达标

1.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为()

A.π6B.π4

C.π3D.π2

解析：选C由题意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.

2.已知|b|=3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()

A.3B.92

C.2D.12

解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=32，

∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.

3.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为()

A.-6B.6

C.3D.-3

解析：选B∵c·d=0，

∴(2a+3b)·(ka-4b)=0，

∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，

∴2k=12，∴k=6.

4.已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|=()

A.37B.13

C.37D.13

解析：选C|a+b|=?a+b?2=a2+2a·b+b2

=42+2×4×3cos60°+32=37.

5.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是()

A.矩形B.菱形

C.直角梯形D.等腰梯形

解析：选B∵=，即一组对边平行且相等，·=0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形.

6.给出以下命题：

①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0;

②若a·b=0，则a与b中至少有一个为0;

③a与b是两个单位向量，则a2=b2.

其中，正确命题的序号是________.

解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然①②错误.

答案：③

7.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.

解析：(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.

答案：-92

8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.

解析：∵c⊥a，∴c·a=0，

∴(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.

∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，

∴cos〈a，b〉=-12.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.

答案：120°

9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a与b的

夹角.

解：因为|e1|=|e2|=1，

所以e1·e2=1×1×cos60°=12，

|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，

|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，

且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，

所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，

所以a与b的夹角为120°.

10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.

(1)求a与b的夹角θ;

(2)求(a-2b)·b;

(3)当λ为何值时，向量λa+b与向量a-3b互相垂直?

解：(1)∵|a|=2|b|=2，

∴|a|=2，|b|=1.

又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1，

∴a·b=|a||b|cosθ=-1.

∴cosθ=-12，∴θ=2π3.

(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.

(3)∵λa+b与a-3b互相垂直，

∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2

=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.

层级二应试能力达标

1.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为π3，则向量m=a-4b的模为()

A.2B.23

C.6D.12

解析：选B|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.

2.在Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则·等于()

A.-16B.-8

C.8D.16

解析：选D法一：因为cosA=ACAB，故·=||·||cosA=||2=16，故选D.

法二：在上的投影为||cosA=||，故·=|cosA=||2=16，故选D.

3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a-b|=()

A.1B.3

C.5D.3

解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因为|a|=1，|b|

=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，则|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.

4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC的中点，则·=()

A.-3B.0

C.-1D.1

解析：选C·=AB―→+12AD―→·(-)

=12·-||2+12||2

=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.

5.设向量a，b，c满足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.

解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.

又(a-b)·c=0，∴(a-b)·(-a-b)=0，即a2=b2.

则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

法二：如图，作==a，

=b，则=c.

∵a⊥b，∴AB⊥BC，

又∵a-b=-=，

(a-b)⊥c，∴CD⊥CA，

所以△ABC是等腰直角三角形，

∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

答案：4

6.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，12a+b·(2a-3b)=12，则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.

解析：12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.

答案：21

7.已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)·(a+b)=12，且a·b=12.

(1)求向量a，b的夹角;(2)求|a-b|.

解：(1)∵(a-b)·(a+b)=12，

∴a2-b2=12，

即|a|2-|b|2=12.

又|a|=1，

∴|b|=22.

∵a·b=12，

∴|a|·|b|cosθ=12，

∴cosθ=22，

∴向量a，b的夹角为45°.

(2)∵|a-b|2=(a-b)2

=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，

∴|a-b|=22.

8.设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，

得?2te1+7e2?·?e1+te2?|2te1+7e2|·|e1+te2|<0.即

(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，化简即得

2t2+15t+7<0，解得-7

当夹角为π时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，

但此时夹角不是钝角，

设2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ<0，可得

2t=λ，7=λt，λ<0，?λ=-14，t=-142.

∴所求实数t的取值范围是

-7，-142∪-142，-12.

高二数学选修22教案最新文案3

[新知初探]

平面向量共线的坐标表示

前提条件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0

结论当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线

[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例;

(2)当a≠0，b=0时，a∥b，此时x1y2-x2y1=0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0?a∥b.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2=x2y1.()

(2)向量(2,3)与向量(-4，-6)反向.()

答案：(1)√(2)√

2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，则与a+b共线的向量可以是()

A.(2,1)B.(-1,2)C.(6,10)D.(-6,10)

答案：C

3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，则x等于()

A.-12B.12C.-2D.2

答案：D

4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________.

答案：73，0

向量共线的判定

[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于()

A.12B.13C.1D.2

(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，-3).判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反?

[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.

法二：假设a，b不共线，则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，从而1=2μ，2=-2μ，方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ=21，即λ=12.

[答案]A

(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，

∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共线.

又=-2，∴，方向相反.

综上，与共线且方向相反.

向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.

[活学活用]

已知a=(1,2)，b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行，平行时它们的方向相同还是相反?

解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，

若ka+b与a-3b平行，则-4(k-3)-10(2k+2)=0，

解得k=-13，此时ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b与a-3b反向.

∴k=-13时，ka+b与a-3b平行且方向相反.

三点共线问题

[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求证：A，B，C三点共线;

(2)设向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点

共线?

[解](1)证明：∵=-=(4,8)，

=-=(6,12)，

∴=32，即与共线.

又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线.

(2)若A，B，C三点共线，则，共线，

∵=-=(4-k，-7)，

=-=(10-k，k-12)，

∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.

解得k=-2或k=11.

有关三点共线问题的解题策略

(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线;

(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.

[活学活用]

设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上?

解：=(2x,2)-(x,1)=(x,1)，

=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2)，

=(5,3x)-(1,2x)=(4，x).

由与共线，所以x2=1×4，所以x=±2.

又与方向相同，所以x=2.

此时，=(2,1)，=(-3,2)，

而2×2≠-3×1，所以与不共线，

所以A，B，C三点不在同一条直线上.

所以A，B，C，D不在同一条直线上.

向量共线在几何中的应用

题点一：两直线平行判断

1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC;

证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，

设||=1，则||=1，||=2.

∵CE⊥AB，而AD=DC，

∴四边形AECD为正方形，

∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(-1,1).

∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1)，

=(0,1)-(1,0)=(-1,1)，

∴=，∴∥，即DE∥BC.

题点二：几何形状的判断

2.已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：由已知得，=(4,3)-(1,0)=(3,3)，

=(0,2)-(2,4)=(-2，-2).

∵3×(-2)-3×(-2)=0，∴与共线.

=(-1,2)，=(2,4)-(4,3)=(-2,1)，

∵(-1)×1-2×(-2)≠0，∴与不共线.

∴四边形ABCD是梯形.

∵=(-2,1)，=(-1,2)，

∴||=5=||，即BC=AD.

故四边形ABCD是等腰梯形.

题点三：求交点坐标

3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标.

解：法一：设=t=t(4,4)

=(4t,4t)，

则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)，

=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).

由，共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，

解得t=34.∴=(3,3).

∴P点坐标为(3,3).

法二：设P(x，y)，

则=(x，y)，=(4,4).

∵，共线，

∴4x-4y=0.①

又=(x-2，y-6)，=(2，-6)，

且向量，共线，

∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②

解①②组成的方程组，得x=3，y=3，

∴点P的坐标为(3,3).

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

层级一学业水平达标

1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()

A.e1=(0,0)，e2=(1，-2)

B.e1=(-1,2)，e2=(5,7)

C.e1=(3,5)，e2=(6,10)

D.e1=(2，-3)，e2=12，-34

解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2;C中e1=12e2，∴e1∥e2;D中e1=4e2，∴e1∥e2，故选B.

2.已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a=(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()

A.-23B.32

C.23D.-32

解析：选C根据A，B两点的坐标，可得=(3,1)，

∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=23，故选C.

3.已知A(2，-1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()

A.(2,1)B.(-6，-3)

C.(-1,2)D.(-4，-8)

解析：选D=(1,2)，向量(2,1)、(-6，-3)、(-1,2)与(1,2)不平行;(-4，-8)与(1,2)平行且方向相反.

4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a+b)∥(a-2b)，则实数x的值为()

A.-3B.2

C.4D.-6

解析：选D因为(a+b)∥(a-2b)，a+b=(x+3,1)，a-2b=(x-6,4)，所以4(x+3)-(x-6)=0，解得x=-6.

5.设a=32，tanα，b=cosα，13，且a∥b，则锐角α为()

A.30°B.60°

C.45°D.75°

解析：选A∵a∥b，

∴32×13-tanαcosα=0，

即sinα=12，α=30°.

6.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，则实数x的值为________.

解析：∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，

∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1.

答案：1

7.已知A(-1,4)，B(x，-2)，若C(3,3)在直线AB上，则x=________.

解析：=(x+1，-6)，=(4，-1)，

∵∥，∴-(x+1)+24=0，∴x=23.

答案：23

8.已知向量a=(1,2)，b=(-2,3)，若λa+μb与a+b共线，则λ与μ的关系是________.

解析：∵a=(1,2)，b=(-2,3)，

∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5)，

λa+μb=λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ，2λ+3μ)，

又∵(λa+μb)∥(a+b)，

∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0，

∴λ=μ.

答案：λ=μ

9.已知A，B，C三点的坐标为(-1,0)，(3，-1)，(1,2)，并且=13，=13，求证：∥.

证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

依题意有=(2,2)，=(-2,3)，=(4，-1).

∵=13，∴(x1+1，y1)=13(2,2).

∴点E的坐标为-13，23.

同理点F的坐标为73，0，=83，-23.

又83×(-1)-4×-23=0，∴∥.

10.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，c=(5,2)，m=λb+c(λ为常数).

(1)求a+b;

(2)若a与m平行，求实数λ的值.

解：(1)因为a=(2,1)，b=(1,1)，

所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).

(2)因为b=(1,1)，c=(5,2)，

所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5，λ+2).

又因为a=(2,1)，且a与m平行，

所以2(λ+2)=λ+5，解得λ=1.

层级二应试能力达标

1.已知平面向量a=(x,1)，b=(-x，x2)，则向量a+b()

A.平行于x轴

B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于y轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

解析：选C因为a+b=(0,1+x2)，所以a+b平行于y轴.

2.若A(3，-6)，B(-5,2)，C(6，y)三点共线，则y=()

A.13B.-13

C.9D.-9

解析：选DA，B，C三点共线，

∴∥，而=(-8,8)，=(3，y+6)，

∴-8(y+6)-8×3=0，即y=-9.

3.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，c=ka+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么()

A.k=1且c与d同向

B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向

D.k=-1且c与d反向

解析：选D∵a=(1,0)，b=(0,1)，若k=1，则c=a+b=(1,1)，d=a-b=(1，-1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k=-1，则c=-a+b=(-1,1)，d=a-b=-(-1,1)，即c∥d且c与d反向.

4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标是()

A.(1,5)或(5,5)

B.(1,5)或(-3，-5)

C.(5，-5)或(-3，-5)

D.(1,5)或(5，-5)或(-3，-5)

解析：选D设A(-1,0)，B(3,0)，C(1，-5)，第四个顶点为D，

①若这个平行四边形为?ABCD，

则=，∴D(-3，-5);

②若这个平行四边形为?ACDB，

则=，∴D(5，-5);

③若这个平行四边形为?ACBD，

则=，∴D(1,5).

综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，-5)或(-3，-5).

5.已知=(6,1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，则x+2y的值为________.

解析：∵=++=(6,1)+(x，y)+(-2，-3)

=(x+4，y-2)，

∴=-=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2).

∵∥，

∴x(-y+2)-(-x-4)y=0，即x+2y=0.

答案：0

6.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________.

解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.

∵=-=(3,1)，=-=(2-m,1-m)，

∴3(1-m)≠2-m，即m≠12.

答案：m≠12

7.已知A(1,1)，B(3，-1)，C(a，b).

(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系;

(2)若=2，求点C的坐标.

解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线.

=(3，-1)-(1,1)=(2，-2)，=(a-1，b-1)，

∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0，∴a+b=2.

(2)若=2，则(a-1，b-1)=(4，-4)，

∴a-1=4，b-1=-4，∴a=5，b=-3，

∴点C的坐标为(5，-3).

8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标.

解：设P(x，y)，则=(x-1，y)，

=(5,4)，=(-3,6)，=(4,0).

由B，P，D三点共线可得==(5λ，4λ).

又∵=-=(5λ-4,4λ)，

由于与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0.

解得λ=47，

∴=47=207，167，

∴P的坐标为277，167.

高二数学选修22教案最新文案4

教学目标

(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;

(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及解等基本概念;

(3)了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题;

(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

(5)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学建议

一、知识结构

教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.

二、重点、难点分析

本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.

对学生来说，二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次：

(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.

(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.

难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.

对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出解作为突破这个难点的关键.

对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解;分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点解的方法.

三、教法建议

(1)对学生来说，二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念

(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证明、归纳)来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.

(3)要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.

(4)建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.

(5)对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.

(6)若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.

如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.

(7)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益;二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.

高二数学选修22教案最新文案5

教学目标

巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.