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完全平方公式的知识点及题目三篇

更新时间:2023-08-03 11:31:34 来源:高考在线

完全平方公式的公式特征

(一)学会推导公式:

(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的),真实体会随意“创造”的不正确性;

(二)学会用文字概述公式的含义:

两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。

(三)这两个公式的结构特征:

1、左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;

2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内).

3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.

完全平方公式运用公式常规四变

运用公式常规四变

一、变符号:

例1:运用完全平方公式计算:

(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2

分析:本例改变了公式中a、b的符号,

处理

方法一:把两式分别变形为再用公式计算(反思得:)

方法二:把两式分别变形为:后直接用公式计算

方法三:把两式分别变形为:后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行,易于理解不会混淆)。

二、变项数:

例2:计算:

分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,可先变形为或或者,再进行计算。

三、变结构

例3:运用公式计算:

(1)(x+y)(2x+2y)

(2)(a+b)(-a-b)

(3)(a-b)(b-a)

分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即

(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2

(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2

(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2

四、简便运算

例4:计算:

(1)999^2

(2)100.1^2

分析:本例中的999接近1000,100.1接近100,故可化成两个数的和或差,从而运用完全平方公式计算。

即:(1)(1000-1)的平方。(2)(100+0.1)的平方

完全平方公式练习题

下面是完全平方公式的灵活运用,恒等变形,非负性的相应练习题。有兴趣的同学可以做一做。

①计算 (-12.3)2-24.6×(-77.7)+777×7.77

②已知2x-2y=a,xy=b,用a,b的代数式表示x2+y2

③已知a-3b=6,ab=2,求(a+3b)2的值

④已知4a2+9b2+|a+3|-12ab=0,求a2+b2的值

⑤ 已知3x - 1/x =4 ,求9x2+1/x2的值。

⑥已知(x-2020)2+(2021-x)2=25,求(x-2020)(2021-x)的值。

①答案:8100

解析:利用完全平方公式

原式=12.32+2×12.3×77.7+77.72=(12.3+77.7)2=902=8100

②答案:0.25a2+2b

解析:2x-2y=a可得x-y=0.5a,想表示x2+y2可以想到(x-y)2

x2+y2=x2-2xy+y2+2xy=(x-y)2+2xy=(0.5a)2+2b=0.25a2+2b

③答案:60

解析:(a+3b)2=(a-3b)2+12ab=62+24=60

④答案:13

解析:原式=(2a)2-2(2a)(3b)+(3b)2+|a+3|=(2a-3b)2+|a+3|=0

根据平方的非负性,绝对值的非负性,可知2a-3b=0;a+3=0

解得a=-3,b=-2,所以a2+b2=13

⑤答案:22

解析:容易看出9x2是3x的平方,1/x2是1/x的平方,所以可以利用完全平方公式的变形公式:a2+b2=(a+b)2-2ab。

9x2+1/x2=(3x - 1/x)2+ 2(3x)(1/x)=42+6=22

⑥答案:-12

解析:为了简化运算,设x-2020=a,2021-x=b,可知a+b=1(这是一个隐藏的条件,要把它挖掘出来)

即a2+b2=25,a+b=1,求ab的值

2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-25=-24

所以ab=-12