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初中数学一次函数整理

更新时间:2023-08-06 19:26:34 来源:高考在线

初中数学代数:一次函数知识点总结

一次函数的定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系:

y=kx(k为任意不为零实数)或y=kx+b(k为任意不为零实数,b为任意实数)则此时称y是x的一次函数。特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。正比例是Y=kx+b。即:y=kx(k为任意不为零实数)

定义域:自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b(k≠0)(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)形

4.正比例函数也是一次函数.

5.当k相同,图像平行;当k不同,图像相交

一次函数的图像及性质

1.作法与图形:通过如下3个步骤

(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];

(2)描点;

(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。

3.函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4.k,b与函数图像所在象限:

y=kx时(即b等于0,y与x成正比)

当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

y=kx+b时:

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。

当b>0时,直线必通过一、二象限;

当b<0时,直线必通过三、四象限。

特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

确定一次函数的表达式

已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

初二上册数学一次函数

一、函数:

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

(1)关系式(解析)法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

(3)图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。

特别地,当一次函数中的b=0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。

4、正比例函数的性质

一般地,正比例函数有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地,一次函数有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大

(2)当k<0时,y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

7、一次函数与一元一次方程的关系:

任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.

结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.

从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

八年级数学上册一次函数知识点

知识点1 一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.

知识点2 函数的图象

由于两点确定一条直线,一般选取两个特殊点:直线与y轴的交点,直线与x轴的交点。.不必一定选取这两个特殊点.

画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.

知识点3一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质

(1)k的正负决定直线的倾斜方向;

①k>0时,y的值随x值的增大而增大;

②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.

(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大

①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;

②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;

③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.

(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;

①如图所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);

②如图所示,当k>0,b

③如图所示,当k﹤O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);

④如图所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).

(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.

知识点4 正比例函数y=kx(k≠0)的性质

(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;

(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.

知识点5 点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系

(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;

(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.

例如:点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.

知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件

(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.

(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.

知识点7 待定系数法

先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.

知识点8 用待定系数法 确定一次函数表达式一般步骤

(1)设函数表达式为y=kx+b;

(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);

(3)求出k与b的值,得到函数表达式.

思想方法小结 (1)函数方法.(2)数形结合法.

知识规律小结 (1)常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.

①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;

当b=0时,直线经过原点;

当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.

②当k,b异号时,直线与x轴正半轴相交;

当b=0时,直线经过原点;

当k,b同号时,直线与x轴负半轴相交.

③当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;

当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;

当b>O,b